3. Дифференциальные уравнения высших порядков. 3.1. Основные понятия

Дифференциальные уравнения, имеющие второй и более высокий порядок, называют дифференциальными уравнениями высших порядков. С целью более компактного изложения материала будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка. При этом определения и теоремы формулируются в таком виде, который позволяет естественным образом распространить их на дифференциальные уравнения любого порядка.

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка называют задачу об отыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего допустимым начальным условиям , .

Приведем без доказательства теорему, в которой формулируются условия существования и единственности решения задачи Коши для ДУ второго порядка.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если в дифференциальном уравнении его правая частьКак функция трех переменных непрерывна в некоторой области и имеет в этой области непрерывные частные производные , по переменным ,, то для любой точки в некотором интервале существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Как указывалось ранее, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того чтобы в компактной форме задать множество решений дифференциального уравнения второго порядка обычно используют два независимо изменяющихся числовых параметра (две произвольных постоянных) И .

Определение. Множество функций называют общим решением дифференциального уравнения второго порядка, если:

1) При любых допустимых значениях параметров функция является некоторым решением, которое коротко называют частным решением;

2) Любое решение задачи Коши может быть представлено в виде при некоторых значениях параметров .

Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, при этом называют общим интегралом дифференциального уравнения второго порядка.

Уравнение , определяющее частное решение как неявную функцию, при этом называют частным интегралом дифференциального уравнения второго порядка.

Если для дифференциального уравнения второго порядка найдено его общее решение , то частное решение задачи Коши можно получить, решив систему двух уравнений относительно переменных .

Пример. Покажем, что функция Является решением дифференциального уравнения второго порядка .

Найдем производные первого и второго порядка данной функции: , . Подставив функции в данное уравнение, получим тождество . Следовательно, функция Является решением данного дифференциального уравнения.

Пример. Найти допустимое множество Существования и единственности решения уравнения второго порядка

В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки пространства , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, т. е. множество ; те точки пространства, где существует и непрерывна частная производная По переменной , т. е. множество и те точки пространства, где существует и непрерывна частная производная По переменной , т. е. открытое множество . Далее находится пересечение указанных множеств, равное . Окончательно, учитывая требование связности, допустимое множество Выбирают в виде или в виде .

< Предыдущая		Следующая >