2. Дифференциальные уравнения первого порядка. 2.1. Основные понятия

Определение. Пусть точка принадлежит области (открытому связному множеству) , лежащей внутри естественной области определения правой части дифференциального уравнения , представленного в разрешенном относительно первой производной виде. Задачей Коши называют задачу об отыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего допустимому условию . Величины Называют начальными значениями, а условие – начальным условием.

Приведем без доказательства теорему, в которой формулируются условия существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если правая часть дифференциального уравнения , рассматриваемая как функция двух переменных , непрерывна в некоторой области и имеет там непрерывную частную производную по переменной , то для любой точки в некотором интервале существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области проходит только одна интегральная кривая дифференциального уравнения .

Точки плоскости, которые не входят в множество, называют Особыми точками дифференциального уравнения. Решения дифференциального уравнения, состоящие только из особых точек, называют Особыми решениями.

Отметим, что дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Действительно, зафиксируем некоторое значение И рассмотрим любые значения , так чтобы . Тогда мы получим бесконечное множество решений, проходящих через точки , которое обычно задают с помощью числового параметра .

Определение. Множество функций называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если:

1) При любом допустимом значении параметра функция является некоторым решением, которое коротко называют частным решением;

2) Любое решение задачи Коши может быть представлено в виде при некотором значении параметра .

Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, при этом называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Пример. Найти область , в которой дифференциальное уравнение первого порядка Имеет единственное решение задачи Коши.

В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, т. е. множество , и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество .

Пересечение указанных множеств равно множеству, которое является открытым связным множеством на плоскости И в соответствии с общими определениями может быть выбрано в качестве области .

Пример. Показать, что множество функций является общим решением дифференциального уравнения первого порядка . Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Построить интегральную кривую, проходящую через начальную точку .

В соответствии с определением общего решения покажем, что при любом вещественном значении параметра функция является решением нашего дифференциального уравнения. Действительно, функция задана на всей вещественной оси и имеет там первую производную, равную . Левая часть уравнения , т. е. тождественно равна правой части уравнения. Таким образом, мы доказали, что функция является решением данного дифференциального уравнения, так что первое условие в определении общего решения в данном случае выполнено.

Представим далее данное дифференциальное уравнение в нормальной форме и найдем область , в которой уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки плоскости , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, т. е. множество , и те точки плоскости, где существует и непрерывна частная производная , т. е. множество . Пересечение полученных множеств равно множеству , которое является открытым, но не связным. Ориентируясь на заданное начальное условие , в качестве области Выберем открытое, связное множество . Теперь, по построению начальная точка Принадлежит области существования и единственности решения задачи Коши, и мы можем подставить в общее решение значения . Из уравнения находим значение параметра в виде .

Таким образом, построено решение задачи Коши в виде , которое проходит через допустимую начальную точку , и которое может быть получено из общего решения при значении произвольной постоянной, равной единице.

Интегральной кривой в данной задаче является кубическая парабола .

< Предыдущая		Следующая >