2.3. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называют Однородным, если его можно привести к виду Или к виду , где и есть однородные функции одного порядка.

Напомним, что функция Называется Однородной функцией порядка , Если для любого действительного числа справедливо равенство .

В частности, квадратичная форма Является однородной функцией второго порядка, так как .

С помощью Подстановки , так что, , однородное уравнения преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение .

Выполним подстановку , . Тогда исходное уравнение преобразуется в уравнение Относительно новой неизвестной функции , которое можно привести к уравнению с разделенными переменными .

Общий интеграл этого уравнения имеет вид .

После потенцирования и преобразования получаем общее решение в следующем виде:

Возвращаясь к функции , находим общее решение исходного уравнения в виде

При делении на были потеряны решения уравнения , которые необходимо преобразовать к исходной функции, так что , и добавить к полученному ранее общему решению.