37. Метастратегии и метарасширения

Смешанные стратегии определяются как случайные величины, реализующиеся в виде чистых стратегий. Дальнейшее расширение понятия стратегии сводится к пониманию новых, обобщенных стратегий, как функции, в которой исходные стратегии принимаются константами. В качестве аргументов, от которых целесообразно рассматривать функции – стратегии, можно брать стратегии других игроков.

Далее мы ограничимся случаем, когда каждый раз рассматривается функция от стратегии Только одного игрока.

Определение 9. В бескоалиционной игре всякая функция Fkij : Xk ® Xj (которая исходя из стратегии Xk игрока K определяет стратегию Xj игрока J называется метастратегией игрока J (в ответ на стратегию игрока K).

Содержательно всякую метастратегию Fkij можно понимать как способ выбора игроком J некоторой своей стратегии в зависимости от получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком K. Если рассматривать ситуацию в бескоалиционной игре как некоторое соглашение, некоторый договор между игроками, а общую стратегию – как принимаемое на себя в договоре обязательство, то метастратегию можно понимать как своего рода условное обязательство: “в случае если игрок K Поступит так-то, я, игрок І, выбираю такую-то свою стратегию, а если этак-то, то такую-то”.

Очевидно, множество всех метастратегий І в ответ на стратегию K можно изобразить в степени множеств .

Определение 10. Бескоалиционные игры G, с тем же множеством игроков N, что и игра G называется метаигрой над игрой G (метарасширением игры Г), если для некоторых J, KÎN

И для любой метастратегии YIÎYi и любого игрока ІÎI

,

Где XK – стратегия игрока K, входящая в ситуацию C, Н – функция выигрышей в игре Г.

Очевидно, процесс образования метаигр (метарасширений игр) поддается неограниченному интегрированию: от метаигры можно переходить к Ее метаигре (называемой Второй метаигрой), от нее к Третьей метаигре и т. д. В этом отношении метарасширения игр отличаются большим разнообразием, чем смешанные расширения.

Для метастратегических расширений доказаны следующие важные теоремы.

Теорема 3. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем первом метарасширении ситуации равновесия.

Доказанная теорема не противоречит той возможности, что ситуацией равновесия может обладать уже сама исходная игра Г.

Теорема 4. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет в своем третьем метарасширении ситуацию, которая является одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.

Пример. Биматричная игра 2х2 имеет следующие матрицы выигрышей игроков А и В:

В соответствии с выражениями (5.17), (5.18) и (5.19) находим приемлемые ситуации (X, Y) игрока 1:

А) (q может быть в любом интервале [0, 1];

Б) (ситуация невозможна);

В) (ситуация невозможна).

В соответствии с выражениями (5.25), (5.27) и (5.28) находим приемлемые ситуации (X, Y) игрока 2:

А) (р может быть любым в интервале [0, 1];

Б) (ситуация невозможна);

В) (ситуация невозможна);

Для наглядности на рис. 5.6 изображены зигзаги, описывающие и невозможные ситуации за пределами допустимых изменений вероятностей p, q).

Единственной ситуацией равновесия в рассматриваемой игре оказывается ситуация (1,1). В этой ситуации каждый из участников теряет 8. Вместе с тем очевидно, что в ситуации (0,0) каждый игрок теряет лишь по единице. Однако эта ситуация неустойчива, каждый игрок, изменяя в ней произвольным образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.

Множество всех реализуемых векторов выигрышей для рассматриваемой игры имеет вид, изображенный на рис. 5.7.

Очевидно, что ситуации с выигрышами (–1, –1), (–10,0), (0,–10) являются оптимальными по Парето. При этом первая из них, в которой получаются наибольшие выигрыши (–1,–1) для каждого из игроков лучше, чем равновесная.

Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде равновесности и ее выгодности, которой соответствует оптимальность по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между максиминным и минамаксным выигрышами. Поэтому оно должно разрешаться при помощи аналогичных приемов, состоящих в расширении уже имеющихся стратегий, т. е. переходу к метарасширениям.

Первая метастратегия игрока 2 состоит в выборе им своей второй стратегии в ответ на вторую стратегию игрока 1 и первой стратегии в ответ на первую.

Вторая метастратегия игрока 1 состоит в выборе им второй своей стратегии, если игрок 2 выберет ту же стратегию, что и 1 и в выборе им своей первой стратегии во всех остальных случаях.

Содержательно это можно представить себе так, что игрок 2 исходит из тезиса “око за око”, а игрок 1 – из более изощренных соображений, которые можно расценить как эгоцентризм (“поддерживать тех, кто действует так же, как я) и ксенофобию (“выступаю против всех тех, кто действует иначе, чем я”).

< Предыдущая		Следующая >