29. Примеры решения бесконечных антагонистических игр

Игра «Борьба за рынки»

Пусть одна из фирм (игрок 1) пытается вытеснить другую фирму (игрок 2), имеющую два рынка сбыта, с одного из этих рынков. Общая сумма средств, выделяемых игроком 1 на эту цель, равна единице (Х Î [0,1]). Стратегии игрока 1 состоят в распределении этих средств между двумя рынками. Если на первый рынок направляется сумма Х, то на второй - (1-х). Пусть игрок 2 для удержания рынков также располагает единичной суммой средств, и его стратегия будет состоять в выделении суммы у на первый рынок и (1-у) - на второй.

Считается, что игрок 1, добившись превосходства средств на одном из рынков, вытесняет своего противника с этого рынка и получает выигрыш, равный избытку своих средств, который берется с коэффициентом, характеризующим важность рынка (пусть этот коэффициент равен K1 для первого рынка и K2 для второго).

Рассматриваемая игра является игрой на единичном квадрате. В этой игре пара чисел (Х, у), где Х, У Î[0,1] являются точками единичного квадрата.

Функция выигрыша в рассматриваемом примере

Где h1>0; h2>0.

Решение.

График зависимости H(Х0,Y) от у для некоторого Х=Х0 представлен на рис.4.1.

Рис.4.1

Очевидно, что при любых Х0 функция Н (х0, у) является выпуклой функцией от У. Имеем

.

Поэтому цена игры

.

График функции выделен на рис.4.2. жирной ломаной.

Рис.4.2

Первый член под знаком максимума с ростом у убывает, а второй - возрастает. Поэтому при малых значениях у максимум достигается на отрезке K1(1-у), а при больших - на отрезке прямой k2у. Следовательно, минимальное значение этот максимум принимает при таком у*, для которого

, т. е. при

. (4.1)

Таким образом, найденное у* является единственной оптимальной чистой стратегией игрока 2. Она состоит в распределении имеющихся средств между рынками пропорционально важности рынков.

Значение цены игры

. (4.2)

Далее надо найти оптимальную стратегию игрока 1. Случаи Х³У* и Х£У* будем рассматривать порознь.

Теорема 3 утверждает, что если Н(х, у) - выпукла и 0£У*£1, То среди оптимальных стратегий игрока 1 найдется такая, которая является смесью двух активных стратегий и . Для этих стратегий

и . (4.3)

При этом стратегии и употребляются с вероятностями Р и (1-р), где Р находится из уравнения

(4.4)

Для случая Х³У* уравнение (4.2) принимает вид

.

Откуда =1.

Для случая Х£У* уравнение (4.2) имеет уже другой вид:

.

Откуда =0.

Таким образом, активными стратегиями игрока 1 оказываются: =0; и =1.Поэтому игрок 1 должен применять смешанную стратегию, являющуюся смесью этих двух активных стратегий. Для нахождения вероятности р, используем уравнение (4.4).

Частные производные

.

.

Тогда уравнение (4.4) для данной игры приобретает вид

, откуда

. (4.5)

Таким образом оптимальная стратегия игрока 1 состоит в концентрации всех его средств на одном из рынков, причем вероятность выбора рынка обратно пропорциональна его важности. Этот результат объясняется просто: чем важнее рынок, тем больше средств вложит противник в его сохранение и тем меньше свободных средств останется на нем после вытеснения противника, и тем менее значимой будет победа над ним.

Игра с выбором момента времени (игра типа дуэли)

Формулировка. Пусть каждый из двух игроков намерен выполнить некоторое действие (выбросить на рынок партию товара, внести на совещание предложение, произвести выстрел и т. д.). При этом обстоятельства часто складываются так, что, во-первых, целесообразно выполнить это действие как можно позже, а во-вторых, желательно своим действием упредить сходное действие противника. Такой конфликт в условиях противоположных интересов его участников естественно моделировать бесконечной антагонистической игрой на единичном квадрате, в которой функция выигрыша Н в общем случае имеет вид

(4.6)

Где каждая из функций y и j

А) непрерывна по обеим переменным;

Б) монотонно возрастает по Х при любых значениях Y;

В) монотонно убывает по Y при любом значении Х;

Г) удовлетворяет условию

.

Игра с функцией выигрыша Н(Х, у), удовлетворяющая перечисленным условиям называется игрой с выбором Момента времени, или Игрой типа дуэли.

Мы ограничимся рассмотрением одного примера данной игры, теория которой, хотя и разработана, но достаточно сложна [2].

Пусть игроки 1 и 2 выбирают соответственно числа Х и У из интервала [0,1]. Эти числа будем понимать как моменты времени выполнения ими требуемых действий. Пусть t - время появления некоторого объекта, который достается игроку, который первый после t совершил требуемое действие. Игрок, обладающий объектом, получает выигрыш, равный 1, а его противник эту единицу теряет. Если ни один из игроков не получит объект, то выигрыш каждого из игроков принимается равным нулю.

Предполагается, что время появления объекта является случайной величиной, распределенной на интервале [0,1] по равномерному закону. Эту игру называют также борьбой за встречу случайно появляющегося объекта.

Запишем математическое выражение функции выигрыша. Рассмотрим ситуацию (х, у), в которой х<у. В этом случае игрок 1 выигрывает единицу, если

T£х; (4.7)

Проигрывает единицу, если

Х<t£y; (4.8)

И не получает ничего, если

Y£t. (4.9)

Вероятность событий (4.7), (4.8) и (4.9) равны соответственно Х, (у-х) и (1-у). Таким образом, при Х<У имеем

. (4.10)

Аналогичным способом находим, что при х>у

. (4.11)

Естественно, что при Х=у, Н(Х, у)=0.

Схематическое описание Н(Х, у) приведено на рис.4.3.

Решение. Заметим, что игра является симметричной. Действительно, при х<у

.

Аналогично, при Х>У

.

Наконец, при Х=у

.

Рис.4.3

Для антагонистических симметричных игр существует теорема, утверждающая для этих игр цена игры = 0, а оптимальные стратегии игроков 1 и 2 совпадают.

Поэтому для решения данной задачи достаточно найти оптимальную стратегию игрока 1.

Пусть оптимальная стратегия игроков имеет плотность распределения F:

;

.

Если игрок 2 применяет эту стратегию, то

.

С учетом формул (4.10) и (4.11.). перепишем последний интеграл

. (4.12)

Так как и постоянна, то все производные по Х функции Н(X, f) также должны обращаться в нуль.

Дифференцируя тождество (4.12) по Х, имеем

(4.13)

Вторая частная производная имеет вид

т. е. .

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем

,

Откуда

. (4.14)

Полученная плотность распределения F(x) положительна и дифференцируема. Однако интеграл расходится. Следовательно, плотность F не может быть дифференцируемой и больше нуля на всем сегменте [0,1].

Можно доказать, что плотность распределения может обращаться в нуль лишь между нулем и некоторым a>0. Таким образом, имеем:

Для определения неизвестных параметров a и с воспользуемся следующими соображениями. Во-первых, F(x) должна удовлетворять условию нормировки:

. (4.15)

Во-вторых, . (4.16)

Из уравнений (4.15) и (4.16) можно определить значения a и с. С этой целью перепишем эти уравнения в явном виде.

, т. е.

. (4.17)

Далее на основании симметричности игры

.

Поскольку с¹0, это нам дает

.

Откуда получаем . Это квадратное уравнение имеет два корня: 1 и . Корень a=1 противоречит равенству (4.17), а подстановка в это равенство дает .

Таким образом, искомая оптимальная стратегия игрока 1 определяется плотностью распределения

График F(x) изображен на рис.4.4.

Рис.4.4.

Остается проверить, что найденные стратегии игроков действительно являются оптимальными. Для этого достаточно убедиться в том, что для любого Х .

При , ,

Поскольку в рассматриваемом случае . При , формула (4.13) дает

.

Тем самым оптимальность стратегии с плотностью f установлена.

< Предыдущая		Следующая >