28. Решение выпуклых игр на единичном квадрате

Определение 3. Класс антагонистических игр, в которых Х, у Î [0,1] называются играми на единичном квадрате.

В играх на единичном квадрате любая ситуация (х, у) понимается как точка единичного квадрата.

Определение 4. Бесконечная антагонистическая игра на единичном квадрате называется строго выпуклой, если ее функция выигрыша Н(х, у) строго выпукла по У при любом Х.

Решение выпуклых игр на единичном квадрате базируется на следующих основных теоремах [2].

Теорема 2. В строго выпуклой игре игрок 2 имеет единственную оптимальную стратегию У*, которая является чистой и является решением уравнения

, где - цена игры.

Теорема 3. Пусть в выпуклой бесконечной антагонистической игре на единичном квадрате с функцией Н(х, у) дифференцируемой по У при любом Х, У* - оптимальная чистая стратегия игрока 2, а - цена игры. Тогда:

1) если У* = 1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 имеется чистая стратегия , для которой Y(,у) £ 0;

2) если У* = 0, то среди оптимальных стратегий игрока 1 имеется чистая стратегия , для которой Y(,у) ³ 0;

3) если 0<У*<1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 найдется такая, которая является смесью стратегий и . Для этих стратегий Y(,у*) £ 0, Y(,у*) ³ 0.

При этом стратегии и употребляются с вероятностями Р и 1-р, где Р находится из уравнения

Р Y(,у*) + (1-р) Y(,у*)=0.

< Предыдущая		Следующая >