27. Бесконечные антоганостические игры. Общие сведения

Если множество чистых стратегий хотя бы одного из игроков бесконечно, то игры называются бесконечными. Различие между конечными и бесконечными антагонистическими играми приводит к необходимости применять для исследования бесконечных игр более сложный математический аппарат, заменять линейно - алгебраические уравнения функционально - аналитическими, интегральными уравнениями, которые в благоприятных случаях сводятся к системам дифференциальных уравнений. Но, как и во всякой антагонистической игре, в бесконечной антагонистической игре принципом оптимального поведения игроков остается принцип «максимина».

Обозначим через Х и У - произвольные множества, элементы которых являются соответственно стратегиями игроков 1 и 2, а через Н(х, у) - функцию выигрыша игрока 1 в ситуации (х, у). Далее будем считать, что функция Н(х, у) непрерывна на пространстве ситуаций Х*Y и ограничена.

Принцип “максимина” может быть реализован тогда и только тогда, когда существуют и равны смешанные экстремумы:

Max inf H(x, y) И min sup H(x, y).

XÎX; yÎY yÎY; xÎX

Для бесконечных антагонистических игр, в отличие от конечных, существование оптимальных смешанных стратегий не обязательно имеет место.

Пусть, например, X и Y принадлежат (0, 1), а функция выигрыша Н(х, у) = х + у. Очевидно, что если бы 1 и 0 входили в число возможных стратегий игроков, то ситуация (1, 0) соответствовала бы седловой точке. Поскольку эту ситуацию реализовать нельзя, то в описываемой игре можно говорить об оптимальности стратегии игроков «с точностью до произвольного ».

Определение 1. Ситуация в бесконечной антагонистической игре называется ситуацией e - равновесия, если для любых стратегий х, у соответственно игроков 1 и 2 имеет место неравенство:

.

Точка , для которой выполняется это соотношение, называется e - седловой точкой функции Н.

Определение 2. Стратегии и , составляющие ситуацию e - равновесия в бесконечной антагонистической игре, называются e - оптимальными стратегиями.

Этот термин отражает тот факт, что такие стратегии являются оптимальными “с точностью до e”. Именно, если отклонение от оптимальной стратегии никакой пользы игроку принести не может, то его отклонение от e - оптимальной стратегии может увеличить его выигрыш, но не более чем на e.

Теорема 1. Если при всяком e > 0, функция Н(х, у) имеет e - седловые точки, то

.

Экстремумы и называются соответственно нижним и верхним значениями бесконечной антагонистической игры.

Как и в случае конечных игр, при отсутствии решения в чистых стратегиях, необходимо расширение стратегических возможностей игроков - введение смешанных стратегий.

Смешанными стратегиями в бесконечной антагонистической игре являются вероятностные распределения S(x) и S(y) на множествах их чистых стратегий Х и У. Пара таких вероятностных распределений является статистически независимыми.

Если и - смешанные стратегии игроков 1 и 2, то выигрыши Н(Х, у), Н(х,Y) и H(X,Y) являются по определению математическими ожиданиями:

Для смешанных стратегий в бесконечных антагонистических играх можно доказать теоремы, аналогичные тем, которые справедливы для смешанных стратегий в матричных играх. Покажем методику решения бесконечных антагонистических игр на отдельных примерах для наиболее простого случая – игр на единичном квадрате.

< Предыдущая		Следующая >