08. Приближение действительного числа подходящими дробями

Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно .

Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно . Если – несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например, , то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов.

Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменить N и n меньшими числами и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе к .

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим 100.

Получаем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему, находим:

	1	2	3	7	8	2
	1	3	10	73	594	1261
	1	2	7	51	415	881

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь . При этом допущенная погрешность , то есть весьма незначительна.

Ответ: .

Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

Пример 2: Как мы уже определили ранее . Вычислим с точностью до 0,001.

Для решения придется найти такую подходящую дробь разложения , чтобы .

Сделаем это, используя схему:

	3	3	6	3
	3	10	63	199
	1	3	19	60

Очевидно, нам достаточно взять , так как 19·60>1000. Это значение будет равно с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как – подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0,001. Получаем (мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3,316 приближенным значением с недостатком или избытком).

Решенные задачи в более общем виде формулируются так:

1) Найти рациональное приближение к действительному со знаменателем в виде наиболее близкой к подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

2) Найти рациональное приближение к действительному числу с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила (то есть с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так, чтобы .

< Предыдущая		Следующая >