09. Теорема Дирихле

Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного числа рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями.

А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.

Пусть – произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа такого, что . поставим вопрос о возможности таких приближений рациональными числами , при которых точность приближения будет оценена не величиной , а величиной, в раз меньшей, то есть вопрос о нахождении рациональных чисел таких, что , где – любое заранее положительное число.

Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к , чтобы точность приближения была в 1000 или в 1000000 раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору =1000 или =1000000. оказывается, что как бы велико ни было , можно найти рациональную дробь , приближающую с точностью до , причем и это является самым интересным, дробь мы можем выбрать так, что .

Теорема Дирихле. Пусть и – действительные числа; существует несократимая дробь , для которой ,

(или: существует такая пара взаимно простых целых чисел a и b, что , ).

Д о к а з а т е л ь с т в о: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей.

Пусть подходящая дробь числа ; выберем наибольший из знаменателей , не превышающий , то есть наибольшее k, чтобы и положим =. Рассмотрим два случая:

1) не является последним знаменателем, то есть существует такое, что <. Тогда при a= и b= имеем:

2) – знаменатель последней подходящей дроби разложения , то есть =. Тогда при a=, b=, имеем:

Теорема доказана.

Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N-1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это доказательство.

Пусть , рассмотрим совокупность t+2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей для x=0, 1, …, t (причем =-, ). Очевидно, каждое из чисел этой совокупности принадлежит точно одному из t+1 промежутков , , …, , из которых первые t являются полусегментами, а последний сегментом.

————————————————————————————————

0 1

Так как чисел у нас t+2, то (согласно принципу Дирихле) обязательно найдется такой промежуток, который содержит 2 числа из совокупности и 1. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то есть .