1.5. Ряды Фурье в L2

Пространство состоит из комплекснозначных функций , для которых . Для таких функций определено Скалярное произведение

Являющееся положительно определенной эрмитовой формой, так как

Справедлива теорема Рисса – Фишера. Пространство Полно в метрика, определяемой скалярным произведением, и, следовательно, является

Гильбертовым пространством.

Обозначим , так как дальнейшие построения не зависят от выбора . Рассмотрим систему векторов . В силу соотношений (3) они попарно ортогональны и имеют длину 1. Система экспонент полна в . Этому утверждению равносильна

Теорема 3. Тригонометрическая система полна в .

Лемма. Для любых положительных существует тригонометрический полином со свойствами

Доказательство: Рассмотрим

очевидно, удовлетворяет первым двум условиям леммы и

Доказательство теоремы 3: Пусть непрерывна и все ее коэффициенты Фурье равны нулю. Тогда

При каждом . Пусть . Тогда в некоторой Окрестности точки и мы получаем

Что невозможно. Теорема 3 доказана.

Координаты вектора по ортонормированному базису есть коэффициенты Фурье функции

Из общих теорем об ортонормированных базисах в отсюда следует:

1. Если , то справедливо равенство Бесселя-Парсеваля

2. Ряд Фурье функции сходится к ней в среднем квадратичном.

3. Для любой последовательности , такой что , ряд сходится в среднем квадратичном к некоторой функции,причем единственная функция, имеющая своими коэффициен-тами Фурье.