1.4. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Комплексное гильбертово пространство – это линейное пространство над полем комплексных чисел , снабженная эрмитовой формой со свойствами

1. .

2. .

3. .

4. (эрмитовость).

Из 4. следует . Кроме того, эрмитова форма предполагается положительно определенной:.Из неравенства

Следует неравенство Коши

,

А из него – неравенство Минковского

.

Поэтому, если длину вектора положить равной , выполнено неравенство треугольника, а В этой метрике полно. Векторы образуют Ортонормированный базис В , если

1. они ортогональны и имеют единичную длину .

2. любой вектор может быть аппроксимирован их линейной комбинацией. Для этого н. и д.

Пусть – ортонормированный базис в , . Числа называются Координатами Вектора в этом базисе. Справедлива следующая теорема

1. Ряд сходится в к .

2. Числовой ряд сходится и

3. Если , то числовой ряд абсолютно сходится и

< Предыдущая		Следующая >