1.3. Поточечная сходимость рядов Фурье

Пусть – –периодическая функция; сходится ли ( к ней ) ее разложение в ряд Фурье для всех точек на периоде? Ответ отрицательный даже для непрерывных функций. Однако справедлива, например, следующая

Теорема 1. Если дважды непрерывно дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней абсолютно и равномерно.

Доказательство использует важную оценку коэффициентов Фурье через ее Тую производную, обобщающую оценку (6). Для коэффициентов Фурье имеем, раз интегрируя по частям

Отсюда следует оценка

. (7)

Которая означает, что: Чем больше у функции производных, тем быстрее стремятся к нулю ее коэффициенты Фурье.

При имеем откуда Ч. т.д.

Важный класс функций, для которых имеет место поточечная сходимость ряда Фурье, образуют функции ограниченной вариации.

1. Вариацией Функции в промежутке назы
вается точная верхняя грань по разбиениям про
межутка сумм . Функции для которых , образуют линейное пространство функция ограниченной вариации (в частности, сумма и разность функция ограниченной вариации есть функция ограниченной вариации). Для Монотонной Ограниченной функции

,

Т. е. монотонная ограниченная функция имеет ограниченную вариацию. Обратно, каждая функция ограниченной функции есть разность двух монотонных. Ограниченные функции, встречающиеся на практике, имеют конечное число максимумов и минимумов, между которыми расположены участки монотонности; поэтому они являются функциями ограниченной вариации.

2. Если , то . Действительно,

3. Функция может иметь разрывы первого рода в счетном множестве точек, однако односторонние пределы существуют во всех точках. Справедлива следующая

Теорема 2. (Дирихле): Пусть функция ограниченной вариации в интервале периодичности. Тогда ряд Фурье функции условно сходится в любой точке к среднему арифметическому пределов слева и справа. В частности, если непрерывна в точке , то ее ряд Фурье сходится условно к . Если непрерывна в замкнутом промежутке , то ее ряд Фурье сходится равномерно на . Условная сходимость ряда Фурье означает, что сходятся симметричные суммы ; при этом например, суммы , могут расходится. В то же время ряды по косинусам и синусам в отдельности сходятся, так как являются рядами Фурье функций .

Доказательство теоремы 2 основано на вытекающем из соотношений ортогональности (1.3) представлении симметричной частной суммы как свертки с Ядром Дирихле

, (8)

Где

< Предыдущая		Следующая >