6.1. Вычисление предела дробно-рациональной функции
6.1.1. Вычисление предела дробно - рациональной функции при 
Пусть 
и 
– многочлены соответственно степеней 
и 
.
Выражение 
при может не представлять собой неопределённости или быть отношением двух бесконечно малых. При вычислении 
могут представляться следующие случаи.
А. Выражение не представляет собой неопределённости, если 
- не является корнем знаменателя, то есть 
. В этом случае используют теорему об арифметических действиях над функциями, имеющими предел в точке:
Б. Не представляет никакого труда вычисление предела и в случае, если – корень знаменателя, но не является корнем числителя, то есть 
, 
. В этом случае отношение При является бесконечно большой функцией, поэтому 
.
В. Если же является и корнем числителя и корнем знаменателя: 
, , то выражение При представляет собой неопределённость типа 
. В этом случае в числителе и в знаменателе можно выделить общий множитель наибольшей степени 
и сократить на него. Выделить такой множитель можно либо с помощью деления многочленов на 
«в столбик», либо путём группировки слагаемых. После сокращения на приходим либо к случаю А, либо к случаю Б.
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Число 
не является корнем знаменателя: 
(случай А), поэтому
.
Пример 2. Вычислить 
Решение. Здесь ситуация такая же: число 2 не является корнем знаменателя (хотя и является корнем числителя).
Пример 3. Вычислить 
Решение. В данном случае число 
является корнем знаменателя, но не является корнем числителя (случай Б)
Пример 4. Вычислить 
Решение. В этом случае 
является корнем и числителя, и знаменателя, а значит выражение представляет собой неопределённость . В знаменателе следует выделить множетель 
. Возможно этот множитель будет входить в некоторой степени (если корни кратные). В числителе выделить такой множитель несложно:
Для того чтобы выделить такой множитель в знаменателе удобно разделить знаменатель на “в столбик”. Такое деление возможно без остатка по следствию из теоремы Безу. Действительно:
Теперь знаменатель можно представить как произведение:
Окончательно: 
6.1.2 Вычисление предела дробно – рациональной функции при 
Пусть при дробно-рациональная функция представляет собой неопределённость типа 
. Тогда при вычислении 
полезно учитывать, что при
Поэтому
Пример 6.
;
Пример 7.
;
Пример 8.
.
Если многочлены в числителе и знаменателе не представлены в стандартном виде, нужно внимательно отнестись к определению старшей степени. Например, выражение 
является многочленом третьей, а не четвёртой степени.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
