3.2. Примеры решения задач

Задание 1. Доказать, используя определение предела последовательности, что . Найти номер элемента последовательности, начиная с которого последовательность отличается от своего предела не более, чем на 0,001.

Решение. Доказать, что – это значит указать такой номер , что все элементы последовательности, начиная с этого номера, не больше чем на по модулю отличаются от .

В нашем случае

;

.

Если достаточно большое настолько, что , то равенство выполняется . Значит, для в качестве можно выбрать 1.

Если , то из неравенства следует, что и в качестве можно выбрать любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству, например ( – целая часть числа ).

Итак,

При .

Задание 4. Доказать, что последовательность является неограниченной, но не является бесконечно большой.

Решение. Решение состоит из двух частей. Доказать, что последовательность неограниченна, т. е. , другими словами, последовательность содержит сколь угодно большие элементы. Тем не менее, эта последовательность не является бесконечно большой, т. е. для последовательности неверно утверждение , а верно обратное утверждение . Другими словами, в последовательности есть элементы со сколь угодно большими номерами, модуль которых не превосходит некоторого числа.

В данном случае . При – нечётных , при - чётных .

Докажем первую часть утверждения. Выберем произвольное сколь угодно большое и найдём такой номер , что . Если нечётно, то . Из неравенства следует, что в качестве можно выбрать любое нечётное число, большее, чем .

Чтобы доказать вторую часть утверждения, обратим внимание на то, что все элементы последовательности с чётными номерами . Если (например ), то какой бы мы ни указали номер , найдется номер больше (чётный), такой, что .

Таким образом, последовательность не является бесконечно большой.

Задание 5.

Пример 1. Доказать, что последовательность имеет предел.

Решение. Покажем, что последовательность монотонно возрастающая.

Сравним последовательность с последовательностью

, каждый член – сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем .

Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е. , при имеем .

Так как , то . Итак, все условия теоремы о сходимости монотонной и ограниченной последовательности выполнены, следовательно, последовательность имеет предел. Обратите внимание на то, что не является , поэтому нельзя утверждать, что .

Пример 2. Доказать, что последовательность

имеет предел, и вычислить его.

Решение. Покажем, что последовательность:

А) ограничена сверху;

Б) монотонно возрастает.

При доказательстве пункта а) используем метод математической индукции. Очевидно, что . Предположим, что для произвольного номера выполняется неравенство , тогда . В соответствии с методом математической индукции неравенство выполняется для любого номера, т. е. , следовательно, последовательность ограничена сверху. б) Докажем, что , снова используя метод математической индукции. Очевидно, что . Пусть .

.

, но так как , то , значит, для .

Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, значит, она имеет предел. Вычислим его. Пусть . Так как , то . Поскольку

, но , , тогда , . Так как мы установили, что , то отбрасываем. Итак .

При выполнении заданий 6, 7, 8 используется следующий результат

Задание 6. Вычислить предел

Решение. При нахождении предела отношения двух многочленов необходимо сравнить степени в числителе и в знаменателе. При кажущейся простоте этой операции она требует определенного внимания и навыков. Рассмотрим предел =Приведем подобные члены

Так как наивысшие степени в числителе и знаменателе равны между собой , то предел равен отношению коэффициентов при наивысших степенях.

Задание 7. Вычислить предел .

Решение. Отметим, что

; ,

Тогда

.

В следующем задании предлагается найти предел выражения, которое представляет собой сумму, число слагаемых которой возрастает с ростом . В этом случае нельзя переходить к пределу в каждом слагаемом отдельно. Предел можно вычислить, предварительно просуммировав слагаемые под знаком предела. С этой целью используются известные формулы суммирования членов арифметической и геометрических прогрессий.

Задание 8.

Пример 1. Найти предел числовой последовательности

.

Решение. Преобразуем заданное выражение

.

В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии со знаменателем . Сумма членов арифметической прогрессии равна . В нашем примере , , число членов , тогда .

.

Пример 2. Найти предел числовой последовательности

.

Решение. Преобразуем заданное выражение

Таким образом, мы имеем сумму членов двух геометрических прогрессий, знаменатель одной из них , первый член , знаменатель другой , первый член .

Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле , т. е.

Для первой прогрессии ,

Для второй прогрессии ,

При имеем

Задание 9.

Пример 1. Вычислить предел

.

Решение.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением

И домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

При вычислении предела было учтено, что , .

Пример 2. Вычислить предел

.

Решение.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся соотношением и домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

Задание 10. Вычислить предел .

Решение. Так как , то – величина бесконечно малая, , т. е. – величина ограниченная. Произведение величины ограниченной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая, т. е.

.

< Предыдущая		Следующая >