25.3. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации

Рассмотрим следующую задачу.

Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы данного вида приведены в табл 25.1. В ней указаны такие запа­сы сырья каждого вида, которые могут быть использованы на производство единицы продукции данного вида. Известно, что цена единицы продукции может изменяться для изделия А от 2 до 12 усл. ед., а для изделия В — от 13 до 3 усл. ед., причем эти изменения определяются выражениями 2 + λ и 13 — λ, где 0 ≤ λ ≤ 10.

Для каждого из возможных значений цены единицы про­дукции данного вида найти такой план их производства, при котором общая стоимость продукции является максимальной.

Решение. Обозначим через Х1 количество единиц продук­ции А, через X2 — количество единиц продукции В. Матема­тическая модель задачи имеет вид

При ограничениях:

Область допустимых решений — многоугольник OABCD (рис. 25.2). Полагая λ = 0, L() = 2X1 + 13Х2 строим (2, 13). Перемещая линию уровня по направлению , находим, что в точке А(0, 11) задача имеет оптимальное решение. Таким об­разом, при λ = 0 1опт(0, 11), L(1)Max = 143.

Если уравнение прямой имеет вид

То угловой коэффициент равен K = - А/В.

Угловой коэффициент линии уровня, перпендикулярной , При произвольном значении λ равен K = (2 + λ) / (13 – λ).

Найдем область оптимальности 1опт : 1опт будет оставать­ся оптимальным для всех λ, при которых соответствующая линия уровня находится внутри угла, образованного прямы­ми X1 = 0 и (25.2). Угловой коэффициент прямой (25.2) K = - 2/2 = -1. По условию λ1 = 0, λ2 = (2 + λ) / (13 - λ) = -1, откуда λ2 = 11/2. Решение 1опт остается оптимальным при λ [0, 11/2].

При λ = 11/2 линия уровня совпадает с прямой (25.2) и оптимальными будут все точки, лежащие на прямой (25.2), в том числе и точка В(1, 10), лежащая на пересечении прямых (25.2) и (25.3).

Оптимальное решение будет сохраняться до тех пор, пока при изменении λ линия уровня не совпадет с прямой (25.3), что будет соответствовать новому оптимальному решению 2опт. Найдем новый диапазон изменения λ: λ1 = 11/2, λ2 = (- 2 + λ) / (13 - λ) = -2, так как K3 = -2. Откуда λ2 = 8.

Получили при λ [11/2, 8] 2опт = (1, 10), L(2)Max = 132 – 9λ.

Аналогично определяем, что при λ [8,10], 3опт = (2, 8), L(3)mах = 108 – 6λ.

Таким образом, при λ = [0, 11/2] необходимо производить только 11 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (143 – 11λ) усл. ед.; при λ [11/2, 8] необходимо производить одно изделие А и 10 изделий В, при этом стоимость продукции является максимальной и равной (132 – 9λ) усл. ед.; при λ [8, 10] необходимо производить 2 изделия А и 8 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (108 – 6λ) усл. ед.

Найдем решение этой же задачи симплексным методом (табл. 25.2-25.4), для чего приведем задачу к каноническому виду:

При ограничениях:

Получим λ1 = - , так как все Δ”J ≤ 0;

Таким образом, λ [0, 11/2], 1опт = (0, 11, 5, 0, 3), L(1)max = 143 – 11λ.

Получим

Таким образом, λ [11/2, 8], 2опт = (1, 10, 2, 0, 0), L(2)mах = 132 – 9λ.

Получим

Таким образом, λ [8, 10], 3опт = (2, 8, 0, 2, 0), L(3)mах = 108 – 6λ.

Получили следующие оптимальные решения в зависимости от диапазона изменения λ:

< Предыдущая		Следующая >