15.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Общий вид и свойства системы уравнений

Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических урав­нений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

Система Т линейных уравнений с П неизвестными (пере­менными) X1, X2, ..., Xп имеет вид

Здесь Aij и Bi — произвольные числа (I = 1, 2,..., M; J = 1, 2, ..., N), которые называются соответственно Коэффици­ентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных озна­чает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру не­известного Xi.

Решением системы уравнений (15.1) называется набор П Чисел X1 = α1, X2 = α2, … , Xn = αN, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (15.1) называется Совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется Несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется Определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется Неопределенной.

Системы уравнений вида (15.1) называются Эквивалент­ными, если они имеют одно и то же множество решений. Эле­ментарные преобразования исходной системы приводят к эк­вивалентной системе. К элементарным преобразованиям отно­сятся:

— вычеркивание уравнения 0X1 + 0X2 + ... + 0Хn = 0 — Нулевой строки;

— перестановка уравнений или слагаемых Aijxj в уравне­ниях;

— прибавление к обеим частям одного уравнения соответ­ственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

— удаление уравнений, являющихся линейными комбина­циями других уравнений системы.

Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбина­цию других уравнений, то из него можно сформировать нуле­вую строку.

< Предыдущая		Следующая >