13.1.4. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы размером П Х п, Или, что то же самое, матрицы Порядка п.

При умножении матрицы порядка П на N-мерный вектор в произведении получается N-мерный вектор:

Для любой матрицы может существовать набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из та­кого набора равносильно умножению этого вектора на опреде­ленное вещественное число (вообще говоря разное для каждого вектора).

Определение 4. Число λ называется собственным значени­ем матрицы А порядка П, если существует такой ненулевой вектор Rn, что выполняется равенство

При этом вектор называется собственным вектором матрицы А, а λ — собственным значением матрицы А, соответствую­щим вектору .

Иными словами, умножение матрицы на ее собственный вектор равносильно удлинению этого вектора в |λ| раз, если |λ| > 1 (или сжатию при |λ| < 1). Если λ = 1, умножение мат­рицы на соответствующий собственный вектор не меняет его. Уравнение (13.5) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, перепишем его в более удобном виде:

Где Е и — соответственно единичная матрица и нулевой век­тор.

Если Aij — элементы матрицы А, то Характеристическая Матрица А — λЕ, согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид

Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела ал­гебры; в дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный результат алгебры матриц: для симметрических матриц (13.2) все П собственных значений яв­ляются действительными числами.

< Предыдущая		Следующая >