10.3.2. Однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Где Р и Q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, как следует из теоремы 10.1, мо­жет иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение урав­нения. Таких решений для уравнения второго порядка — два, каков и порядок уравнения.

Определение 3. Решения У1(х) и У2(х) уравнения (10.9) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю:

Лишь в том случае, когда С1 = C2 = 0.

В том случае, когда можно найти такие числа С1 и С2, не равные нулю одновременно, что для функций У1(х) И У2(х) на некотором интервале (A, B) выполняется равенство (10.10) для любого Х (А, B), эти функции называются Линейно зависимы­ми на интервале (А, B). Линейная зависимость функций озна­чает их пропорциональность, например, У1(х)/у2(х) = —С2/С1, При У2(х) ≠ 0 и С1 ≠ 0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть решения у1(х) и у2(х) уравнения (10.9) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция

Где С1 и С2 — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (10.9).

Эта теорема, по сути дела, выражает метод нахождения об­щего решения однородного дифференциального уравнения вто­рого порядка: нужно отыскать два линейно независимых реше­ния и взять их линейную комбинацию вида (10.11).

Будем искать решение уравнения (10.9) в виде У = ЕKx, где K — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (10.9), получаем

Сокращая обе части этого равенства на ЕKx, получаем квад­ратное уравнение относительно K

Стало быть, если число K является корнем уравнения (10.12), то функция У = еkx есть решение однородного уравнения (10.9). Уравнение (10.10) называется Характеристическим уравнени­ем для дифференциального уравнения (10.9).

Вид общего решения уравнения (10.9) существенно зави­сит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (10.10). Обозначим эти корни через K1 и K2. Справедлива сле­дующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. А) Если корни характеристического уравне­ния вещественные и k1 ≠ k2, то общее решение однородного дифференциального уравнения (10.9) имеет вид

Б) если корни уравнения (10.12) вещественные и равные между собой (k1 = k2 = k), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

В) если корни характеристического уравнения комплекс­ные (k1 = а + bi, k2 = а — bi, где i =, a и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

Где а = - р/2, b =. Во всех трех случаях С1 и С2 — произвольные постоянные.

Заметим, что когда дискриминант характеристического уравнения (10.12) отрицательный, корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представля­ют собой комплексно-сопряженные числа; в случае В исполь­зована их алгебраическая форма.

Рассмотрим примеры отыскания общих решений однород­ных дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Характеристическое уравнение данного диффе­ренциального уравнения имеет вид

Его корни вещественные и различны: K1 = 1, K2 = 4. Следова­тельно, общее решение данного уравнения имеет вид

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Оно имеет кратный корень K = 3; следовательно, общее реше­ние данного однородного уравнения имеет вид

Решение. Соответствующее характеристическое уравне­ние

Имеет дискриминант, равный —1, и, значит, комплексно-соп­ряженные корни таковы: K1 = 1 + I, K2 = 1 — I, где I = — Мнимая единица. Следовательно, общее решение данного урав­нения дается формулой

< Предыдущая		Следующая >