10.3.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

Где Y – искомая функция, а Р(х), Q(X) и F(X) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (A, B).

Если F(X) ≡ 0, то уравнение (10.7) называется Линейным однородным уравнением. Если F(X) ≠ 0, оно называется Ли­нейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (10.7) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (10.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (10.3) при X0 (а, b) это уравнение имеет единствен­ное решение задачи Коши.

В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распро­страненный случай, когда в уравнении вида (10.7) функции Р(х) и Q(X) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффи­циентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида

Где Р и Q — вещественные числа. Как и в общем случае линей­ных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.

< Предыдущая		Следующая >