09.3. Неполные уравнения

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция F явно зависит только от одной переменной: либо от Х, либо от У.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция F зависит только от Х. Переписав это уравнение в виде

Нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция F зависит только от У, т. е. уравнение (9.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется Авто­номным. Такие уравнения часто употребимы в практике мате­матического моделирования и исследования природных и физи­ческих процессов, когда, например, независимая переменная Х Играет роль времени, не входящего в соотношения, описываю­щие законы природы. В этом случае особый интерес представ­ляют так называемые Точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции F(У), где производная У' = 0.

Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения не­известной функции У = φ(X) (или Х = ψ(у)):

В общей теории дифференциальных уравнений развита те­ория качественного анализа, основанная на исследовании ха­рактера стационарных точек.

< Предыдущая		Следующая >