09.4. Линейные уравнения первого порядка

Определение 7. Уравнение вида

Где Р(х) и Q(X) — непрерывные функции, называется Линейным Дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет на­звание уравнения.

Если Q(X) 0, то уравнение (9.7) называется линейным Однородным уравнением; если же функция Q(X) не равна тож­дественно нулю, то уравнение (9.7) называется линейным Не­однородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода Вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заме­нами неизвестной функции У(х). К таковым относится Уравне­ние Бернулли

Где Р и Q — непрерывные функции, a N — некоторое постоянное число. При П = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при N = 1 — линейное однородное уравнение

Пусть П ≠ 0, N ≠ 1. Введем новую функцию

Тогда

Поделим обе части уравнения (9.9) на Уn:

Умножая обе части этого уравнения на (1 — N), с учетом выра­жений для новой функции Z и ее производной получаем линей­ное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции Z(X):

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функ­ция Z(X) связана с искомой функцией У(X) соотношением (9.10).

Рассмотрим примеры решения неоднородных уравнений первого порядка.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение перво­го порядка. Последовательное интегрирование в формуле (9.8) при Р(х) = X2 и Q(X) = х2 дает

(этот интеграл берется с помощью подстановки T = х3 в фор­мулу (9.8)). Получаем решение дифференциального уравнения:

Решение. Тот же прием, что и в предыдущем примере, при Р(х) = 1/х и Q(X) = EХ дает нам решение

 

Решение. Данное нелинейное уравнение представляет со­бой уравнение Бернулли при П = 3. Заменой искомой функции Z = У-2, согласно (9.10) и (9.11), получим линейное неоднород­ное уравнение относительно Z(х)

По формуле (9.8) получаем общее решение этого уравнения:

Теперь, выполняя обратную замену У = ±1/, получаем ре­шение исходного нелинейного уравнения:

< Предыдущая		Следующая >