08.5.1. Применение в задачах экономики. Экстремум функции нескольких переменных. Прибыль от производства разных видов товара

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.

Пусть X1, X2, …, Xт. — количества производимых Т разно­видностей товара, а их цены — соответственно P1, P2, …, Pm (все Pi — постоянные величины). Пусть затраты на производ­ство этих товаров задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локально­го экстремума функции многих переменных (8.11) при Xi ≥ 0 (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений от­носительно переменных Хi

Система уравнений (8.12) реализует известное правило эконо­мики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой сис­темы уравнений являются наборы, состоящие из Т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения реше­ния системы уравнений (8.12) зависит от вида функции издер­жек и может быть достаточно сложным.

Приведем конкретный пример. Пусть производятся два ви­да товаров, обозначим их количества через X и У. Пусть P1 = 8 и Р2 = 10 — цены на эти товары соответственно, а С = х2 + ху + У2 — функция затрат. Тогда согласно (8.11) при X1 = х, X2 = Y прибыль является функцией двух перемен­ных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений

Решением которой является точка (2,4). Поскольку

То найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен Пmах = 28.

< Предыдущая		Следующая >