08.4.2. Достаточные условия существования локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных Z = F(X, Y), Часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , В некоторой точке M0 через А11, A12, A22 соответственно. Тогда достаточное усло­вие локального экстремума формулируется следующим обра­зом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М0(х0, у0) возможного экстре­мума функции и = F(X, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

То функция и = F(X, Y) имеет в точке М0 локальный экстре­мум: минимум при а11 < 0 и максимум при а11 > 0. Если же а11А22 — A122 ≤ 0, то данная функция не имеет локального эк­стремума в точке M0.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции Z = х3 — у3 — 3Ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий = = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

Откуда получаем Δ = А11A22 — а122 = -36XУ — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т. е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку А11 < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней: UMax = F(-1, 1) = 1.

< Предыдущая		Следующая >