Рассмотрим функцию трех переменных И = F(X, у, Z), дифференцируемую в некоторой точке M(X, Y, Z).
Определение 1. Градиентом функции И = F(X, У, Z) называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным 
в точке М.
Для обозначения градиента функции используется символ
Аналогично в случае функции двух переменных И = F(X, У) Имеем
Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.
Для определения геометрического смысла градиента функции введем понятие поверхности уровня. Это понятие аналогично понятию линии уровня, рассмотренному в п. 8.2.
Определение 2. Поверхностью уровня функции И = F(X, у, z) Называется поверхность, на которой эта функция сохраняет постоянное значение
В курсе математического анализа доказывается, что градиент в данной точке ортогонален к этой поверхности.
В случае функции двух переменных все сказанное выше остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 5. Найти градиент и его модуль функции Z = 
в точке М (0, 1).
Решение. По формуле (8.8) имеем для функции двух переменных
При Х = 0 и У = 1 получаем
Пример 6. Найти градиент и его модуль функции И = x2 + у2 - z2 в точке М (1, 1, -2).
Решение. По формуле (8.7) имеем
Подставляя в это выражение координаты точки М, получаем
Пример 7. Найти поверхности уровня функции U = Х2 — 2Х + у2 + 2У — Z.
Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.9) имеем
Где С = С + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью Х = 1, У = -1, параллельной оси Oz, вершины которых лежат в точках с координатами (1, -1, -С).