07.5.1. Геометрические приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции F(X) на отрезке [А, B], отрезком [А, B] и вертикальными прямыми Х = А и Х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть Криволинейной трапе­цией.

Величина площади криволинейной трапеции равна опреде­ленному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями F(X) и G(х) соответственно, непрерывными на от­резке [А, B], то площадь S криволинейной фигуры равна разнос­ти площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками F(X) и G(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции У = ln X ≥ 0, осью Ох и прямой Х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ Х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями У = , у = х2.

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указан­ных кривых, для чего приравняем правые части этих уравне­ний: Х2 = . Корни этого уравнения суть X1 = 0, X2 = 1. Сле­довательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у = и снизу функцией У = X2 (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]:

< Предыдущая		Следующая >