07.4.1. Основные правила интегрирования. Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) F(X) — непрерывная функция на отрезке [А, b]; 2) Функция φ(T) дифференцируема на [α, β], Причем φ'(T) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(T) является отрезок [А, b], 3) φ(α) = А, φ(β) = b. Тогда справедлива формула
Формула (7.12) называется Формулой замены переменной Или Подстановки в определенном интеграле.
Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.
Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).
Вычислить определенные интегралы методом подстановки.
Решение. Выполним подстановку T = 1 + Х2. Тогда Dt = 2Х Dx, t = 1 при Х = 0 и T = 2 при Х = 1. Поскольку функция Х = Непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоремы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем
Решение. Применим здесь подстановку Х = A Sin T. Тогда Dx = A cos T Dt, = A cos T, T = arcsin , T = 0 при X = 0, T = при X = А. Подставляя все это в исходный интеграл, получим
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем
Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной T = tg Х. Тогда T = 0 при Х = 0 и T = 0 при Х = π, Х = arctg T, Т. е. Dx = Dt / (l + T2). Подстановка в исходный интеграл дает
Полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной T = Tg X имеет разрыв при Х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.
< Предыдущая | Следующая > |
---|