04.6. Понятие производной N-го порядка
Производная F'(X) функции F(X) сама является функцией аргумента Х, и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от первой производной некоторой функции У = F(X) называется Второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется Третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные начиная со второй называются Производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: У", у'", у(4), у(5), ..., у(N) (для второй и третьей производных соответственно еще и У(2) и У(3)) или вместо У пишут F(X): F"(X), F"(х), ..., F(N)(X).
Производная N-Го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (N — 1)-го порядка: Y(N) = (Y(N-1))'
Рассмотрим несколько примеров на вычисление производных высших порядков.
Пример 1. Найти производную второго порядка от функции У = х3 + 2Х.
Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:
Пример 2. Найти производную второго порядка от функции .
Решение. Сначала находим первую производную сложной функции:
Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций:
Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции У = Х In Х.
Решение. Последовательно находим
Пример 4. Найти производную N-го порядка от функции Y = e2x.
Решение: Находим
Т. е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функции сомножитель 2. Отсюда получаем
В заключение укажем формулы для вычисления производных N-го порядка для функций sin Х и cos Х. Нетрудно убедиться, что
< Предыдущая | Следующая > |
---|