04.5. Дифференцирование сложной функции

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(T) имеет производную в точке T0, а функция у = F(X) имеет производную в соответ­ствующей точке X0 = φ(t0). Тогда сложная функция F[φ(T)] имеет производную в точке T0 U справедлива следующая фор­мула:

В теореме 4.3 рассмотрена суперпозиция двух функций, где У зависит от T через промежуточную переменную Х. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточны­ми переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если У = у(х), х = φ(и), и = ψ(T), то производная Y'(T) вычисляется по формуле

Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование сложной функции.

Пример 1. Найти производную функции У = tg (X3).

Решение. Эту функцию можно представить через проме­жуточную переменную И как Y = Tg U, и = х3. Тогда по фор­муле (4.7) имеем

Пример 2. Найти производную функции У = .

Решение. Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: У = ЕU, И = V2, V = Tg W, W = 4X. Применяя правило (4.7) дифференцирования сложной функ­ции, последовательно получаем

Пример 3. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гра­фику функции

Решение. Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как

Применяя правила дифференцирования суммы функций и сложных функций, получаем

Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси Ох при Х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него Х = 0:

Откуда φ = arctg 1 = 45°.

< Предыдущая		Следующая >