01.4. Грани числовых множеств
Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число D, такое, что для любого Х Х Выполняется неравенство Х ≤ D (х ≥ D). Число D тогда называется Верхней (нижней) гранью множества X. Множества, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными. Любой конечный промежуток ограничен. Интервалы (А, +) и (-, B) представляют собой множества, ограниченные соответственно снизу (сверху), но не ограниченные сверху (снизу). Вся числовая прямая не ограничена ни снизу, ни сверху.
Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних (нижних) граней. Действительно, если число D является верхней гранью множества X, То и любое число D1 > D, согласно определению верхней грани, также будет верхней гранью этого множества. Наименьшая верхняя грань множества X, ограниченного сверху, называется Точной верхней гранью этого множества; она обозначается символом supX. Наибольшая нижняя грань ограниченного снизу множества Х Называется Точной нижней гранью этого множества и обозначается символом infX. Эти символы заимствованы из латинского языка: Supremum — наивысший и Infimum — наинизший.
Приведем некоторые примеры. Пусть Х = (А, B). В таком cлучае числа А и B являются точными нижней и верхней гранями множества X, т. е. А = Inf X, B = sup X. Пусть X = (-, B). Тогда нижних граней (в том числе и точной нижней грани) множество Х не имеет, а число B является его точной верхней гранью: B = sup X.
Известна следующая теорема о существовании точной верхней (нижней) грани числового множества, которую мы приводим ниже без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
< Предыдущая | Следующая > |
---|