01.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональ­ной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х И Y установлено Соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу Х Х соответствует элемент У Y. Соответствие называется Взаимно однозначным, если любому Х Х соответствует только один элемент из Y и, наоборот, любому У Y соответствует только один элемент .

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено вза­имно однозначное соответствие. Это дает возможность нагляд­но геометрически изобразить вещественные числа на числовой оси. На прямой выберем точку О начала отсчета, укажем на­правление отсчета (обычно слева направо, рис. 1.2) и единицу измерения или масштаб.

Рис. 1.2

Эти три действия полностью определяют нам числовую (ко­ординатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на этой оси. По­ставим ей в соответствие число X, равное по величине длине отрезка ОМ, со знаком +, если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком —, если М расположена слева от точки О. Тогда число Х называется Координатой точки Х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественно­му числу Х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна Х.

Пусть А и b — два числа, причем А < b. Укажем некоторые наиболее употребительные числовые множества:

1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству А ≤ Х ≤ B, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, B];.

2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравен­ству А < Х < b, называется интервалом и обозначается (а,B);

3) множество всех вещественных (действительных) чисел бу­дем обозначать

4) аналогично пп. 1-3 можно определить числовые множества типа (A,B], [А, B), (а, +), (-,B), [А, +) и (-, B].

Все эти множества называются промежутками; промежут­ки типа 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа А и B — их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [А, B] изображается отрезком М1М2, Таким, что точка M1 имеет координату А, точка M2 — координату B. Вся координатная прямая является изображени­ем множества всех вещественных чисел, и потому множество (-, ) называется Числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.

< Предыдущая		Следующая >