01.2. Вещественные числа и их свойства
Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным называется число вида P/Q, где Р и Q — целые числа. Всякое вещественное число, не являющееся рациональным, называется Иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или периодическую бесконечную десятичную дробь. Например, рациональное число 1/9 можно представить в виде 0,11111.... Иррациональное число представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:
= 1,41421356...; = 3,14159265....
Сведения о вещественных числах могут быть кратко систематизированы в виде перечисления их свойств.
А. Сложение и умножение вещественных чисел
Для любой пары вещественных чисел А и B определены единственным образом два вещественных числа а + B и а ∙ B, Называемые соответственно их Суммой и Произведением. Для любых чисел А, b и С имеют место следующие свойства.
1. A + B = B + а, а ∙ B = B ∙ а (переместительное свойство).
2. А + (B + С) = (А + B) + С, А ∙ (B ∙ С) = (А ∙ B) ∙ С (сочетательное свойство).
3. (А + B) ∙ с = А ∙ С + B ∙ с (распределительное свойство).
4. Существует единственное число 0, такое, что а + 0 = a для любого числа а.
5. Для любого числа а существует такое число (-а), что а + (-а) = 0.
6. Существует единственное число 1 ≠ 0, Такое, что для любого числа а имеет место равенство
А ∙ 1 = A.
7. Для любого числа а ≠ 0 существует такое число а-1, что а ∙ а-1 = 1. Число а-1 обозначается также символом .
В. Сравнение вещественных чисел
Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: А = b (А равно B), а > b (А больше B) или А < B (А меньше B). Отношение равенства обладает свойством Транзитивности: если А = B и B = с, то А = С.
Отношение "больше" обладает следующими свойствами.
8. Если а > b и b > с, то а > с.
9. Если а > b, то а + с > b + с.
10. Если а > 0 и b > 0, то а b > 0
Вместо соотношения А > b употребляют также B < а. Запись А ≥ B (b ≤ А) означает, что либо А = B, либо A > B. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 — строгими неравенствами.
11. Любое вещественное число можно приблизить рациональными числами с произвольной точностью.
С. Непрерывность вещественных чисел.
12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел И выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются неравенства х ≤ с ≤ у.
Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.
Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами А-С. Такое определение, из которого выводятся остальные свойства, называется Аксиоматическим, а сами свойства А-С — Аксиомами вещественных чисел.
< Предыдущая | Следующая > |
---|