01.1. Основы математики. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами
Понятие Множества является одним из основных в математике. Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать синонимами слова "множество". Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество студентов определенного учебного заведения; совокупность студентов, учащихся на "хорошо" и "отлично" в некоторой школе, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или бесконечное число объектов.
Объекты, составляющие множество, называются его Элементами или Точками. Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы — малыми буквами. Выражение "элемент Х из множества Х" соответствует записи Х Х (Х принадлежит X); если же элемент Х не входит в множество X, то это соответствует записи Х Х (Х не принадлежит X).
Пусть Х и Y — два множества. Тогда между ними можно определить следующие соотношения. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи X=Y. Если все элементы множества Х Содержатся в множестве Y, то Х целиком содержится в Y, или Х Y (X является подмножеством множества Y). Если ни один элемент множества Х не содержится в Y, то, значит, и само множество X не содержится в Y, или X Y.
В математике используется понятие Пустого множества, Обозначаемого символом Ø. Это множество, в котором не содержится ни один элемент, и потому оно является подмножеством любого множества.
Введем также понятия Суммы множеств и их Пересечения. Суммой или объединением двух множеств Х И.Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Сумма этих множеств обозначается XY. Например, пусть Х — множество государственных предприятий с годовым оборотом не ниже S денежных единиц, а Y — множество негосударственных предприятий с тем же порогом годового оборота; тогда Х Y будет множеством всех предприятий с указанным нижним ограничением S.
Отметим, что добавление пустого множества Ø к любому множеству Х не меняет этого множества, т. е.
Х Ø = Х.
Пересечением множеств Х И Y (или их общей частью) является совокупность элементов, входящих как в множество X, Так и в множество Y; это множество обозначается Х Y. Например, если Х — это множество предприятий с годовым оборотом Т не ниже S, а Y — совокупность предприятий с годовым оборотом не более S, причем s < S, то в пересечение Х Y войдут объекты с годовым оборотом T, удовлетворяющим неравенству
S ≤ T ≤ S.
Отсутствие элементов со свойствами множеств Х и У одновременно означает, что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество Ø. Схематически пересечение двух множеств показано на рис. 1.1 (заштрихованная область).
Рис. 1.1
Разностью множеств Х и Y называется множество Z, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y; эта разность обозначается Z = Х \ Y.
В общем случае сложение и пересечение определяются для любого конечного числа множеств путем последовательного попарного проведения соответствующих операций.
В математических формулировках довольно часто используются отдельные предложения и слова, так что при их записи целесообразно употреблять экономную логическую символику. Вместо выражения "любое Х из множества X" употребима запись , где перевернутая латинская буква взята от начала английского слова Any — любой. Аналогично вместо выражения "существует элемент Х из множества X" кратко пишут:, где перевернутая латинская буква является начальной в английском слове Existence — существование.
< Предыдущая | Следующая > |
---|