2.1 Системы множеств. Кольцо множеств

Системой множеств называется всякое множество, элементы которого сами представляют собой какие-то множества. Не уменьшая общности рассуждений, считаем, что рассматриваются системы множеств, каждое из которых является подмножеством некоторого фиксированного множества Х.

Непустая система множеств Т называется кольцом, если она обладает тем свойством, что из А Î Т и В Î Т следует, что А  В Î Т и АВ Î Т.

Так как для " А и В:

АВ = (А В) (А В) и

А/В = А (А В),

То из А Î Т и В Î Т вытекает, что А В Î Т и А\В Î Т.

Таким образом кольцо множеств есть система множеств, замк­нутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Очевидно, кольцо замкнуто и по отношению к образованию " конечных сумм и пересечений вида:

С = , D = .

" кольцо содержит Æ, так как всегда А\А = Æ.

Система, состоящая только из Æ, есть наименьшее возможное кольцо множеств.

Множество Е – единица системы множеств Т, если Е принад­лежит Т и для " А Î Т имеет место

А Е = А.

Таким образом единица системы множеств Т есть максимальное множество этой системы, содержащее все другие, входящие в Т множества.

Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.

Примеры: Для любого множества А система М(А) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей Е = А.

Для " непустого множества А система {Æ, А} – алгебра мно­жеств с единицей Е = А.

Теорема: Пересечение Т = любого множества есть кольцо.

< Предыдущая		Следующая >