2.2 Системы множеств. Полукольцо множеств

Система множеств Т называется полукольцом, если она содержит пустое множество Æ, замкнута по отношению к образованию пере­сечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к Т мно­жеств А и А1 Ì А вытекает: А = , где АK – попарно непересекаю­щиеся множества из Т, первое из которых есть заданное множество А1.

В дальнейшем всякий набор попарно непересекающихся мно­жеств, объединение которых есть заданное множество А, мы будем называть конечным разложением множества А.

Всякое кольцо множеств Т является полукольцом, так как если А и А1 Ì А входят в Т, то имеет место разложение:

А = А1 А2, где А2 = А\ А1 Î Т.

Пример Полукольца, не являющегося кольцом множеств, – это совокупность всех интервалов (А, B) отрезков[А, B] и полуинтервалов [А, B) и (А, B] на числовой прямой:

[А, B) (А, B] = ([А, B) \ (А, B]) ((А, B] \ [А, B)) = А B.

Если необходимо рассмотреть суммы и пересечения не только конечного, но и счетного числа множеств, то вводят понятия s-кольца и d-кольца.

Кольцо множеств называется S-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств А1, А2, ..., АN, ... содержит сумму

S = .

Кольцо множеств называется D-кольцом, Если оно вместе с каждой последовательностью множеств А1, А2, ..., АN, ... содержит пере­сечение

D = .

S-алгебра – s-кольцо с единицей;

D-алгебра – d-Кольцо с единицей.

< Предыдущая		Следующая >