1.23 Понятие мощности множества

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же количества элементов. Если эквивалентны между собой два бесконечных множества M и N, то говорят, что M и N имеют одинаковую Мощность.

Таким образом, мощность – это то общее, что есть у любых двух, эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества.

Мощность множества натуральных чисел и любого другого счетного множества мы будем обозначать l0. Это самая маленькая мощность среди бесконечных множеств.

Множества, эквивалентные множеству всех действительных чи­сел отрезка [0; 1], имеют Мощность континуума. Эта мощность обоз­начается символом С (или l). Множества с мощностью континуума имеют более «высокий порядок» бесконечности по сравнению со счетными множествами.

Для мощностей конечных множеств имеются понятия «равен­ства», а также «больше» и «меньше». Эти понятия справедливы и для бесконечных множеств.

Пусть А и В – два произвольных множества, а M(А) и M(В) – их мощности. Тогда возможны следующие случаи:

1. А эквивалентно некоторому подмножеству В, а В эквивалентно некоторой части А.

2. А содержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет части, эквивалентной А.

3. В содержит некоторую часть, эквивалентную А, но в А нет части, эквивалентной В.

· В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора – Бернштейна эквивалентны между собой, т. е. M(А) = M(В).

· Во втором случае естественно считать, что M(А) > M(В).

· В третьем случае M(А) < M(В).

Итак, Любые два множества либо эквивалентны между собой (равномощны), и тогда M(А) = M(В), либо удовлетворяют одному из двух соотношений: M(А) > M(В) или M(А) < M(В).

Мы отметили, что счетные множества – это «самые маленькие» из бесконечных множеств и их мощность l0 – тоже самая маленькая. Мы также выяснили, что существуют бесконечные множества с мощностью большей, чем l, – это мощность континуума С(l).

А существуют ли множества, имеющие мощность большую, чем мощность континуума? И существует ли какая-то «наивысшая» мощность или нет?

Положительный ответ на эти вопросы дает следующая теорема:

Пусть М – некоторое множество, а М* – множество всех его подмножеств. Тогда множество М* имеет мощность, большую, чем мощность исходного множества М: M(М*)> M(М).

Итак, для любой мощности мы можем построить множество большей мощности, затем еще большей и т. д., получая таким образом неограниченную сверху шкалу мощностей.

Замечание:

Мощность множества М* обозначают символом 2M , где M – мощность множества М. Смысл этого обозначения можно понять, рас­смотрев случай конечного М.

Тогда теорему можно выразить неравенством 2M > M.

В частности, при M = l0 мы получим неравенство 2l0 > l0. Возникает вопрос, чему равна мощность 2l0 . Оказывается, что 2l0 = С, т. е. Мощность множества подмножеств натурального ряда равна мощности континуума.

< Предыдущая		Следующая >