1.05 Произведение множеств

Пусть имеются два множества А и В, не обязательно различных. Произведением множеств (Декартовым произведением) АВ есть множество всех упорядоченных пар элементов (А, B), из которых первый (А) – принадлежит множеству А, а второй (B) – множеству В.

Например, А = {(А1, а2, а3, а4) }и В ={(B1, B2)}. Тогда АВ = {(А1, B1), (А1, B2), (А2, B1), (А2, B2), (А3, B1), (А3, B2), (А4, B1), (А4, B2)}.

Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре определяется порядком следования пере­множаемых множеств. Поэтому АВ ВА, если В А, и (Аi, BJ) (BJ, аi).

Операция произведения множеств обобщается на любое их число А1, А2,..., Аn, и записывается:

= А1А2...Аn.

В результате получаем множество упорядоченных совокупностей элементов вида (А1, а2 ,..., аT), для которых употребляются названия: Вектор, последовательность Или Кортеж.

Произведение множеств Не подчиняется коммутативному и ассоциативному Законам:

1. АВ ВА – коммутативный (перестановочный) закон;

2. А(ВС) (АВ)С – ассоциативный (сочетательный) закон.

Но для операции произведения множеств выполняются законы Дистрибутивности Относительно операций Объединения, пересечения и разности (распределительный закон):

1. (А1 А2)В = (А1В)(А2В);

2. (А1 А2)В = (А1В)(А2В);

3. (А1 \ А2)В = (А1В)\(А2В).

Для произведения N одинаковых множеств А используют обоз­начение степени:

АN = АА...А,

Где А повторяется N раз. В этом случае кортежи содержат элементы множества А, среди которых могут быть одинаковые элементы.

Так, если А = {А1, а2}, то А3 = {(А1, а1, а1), (А1, а1, а2), (А1, а2, а1), (А2, а1, а1), (А2, а2, а1), (А2, а1, а2), (А1, а2, а2), (А2, а2, а2)}.

Следует обратить внимание на существенное отличие операции произведения множеств от операций объединения, пересечения и т. п. В результате операций пересечения, объединения и т. д. всегда получается множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат ис­ходным множествам.

Элементы произведения множеств существенно отличаются от элементов сомножителей и представляют собой объекты другой кате­гории.

Например, пусть N – множество натуральных чисел. Тогда NN будет множеством пар натуральных чисел (P, Q). Причем каждая из этих пар может определять самые различные объекты: – дроби вида P/Q; номера домов P и номера квартир Q.

< Предыдущая		Следующая >