1.06 Бинарные отношения

Бинарные отношения (БО) – отношения между элементами двух множеств. Они устанавливают соответствие элементов одного множест­ва X элементам другого множества Y по некоторому признаку или свойству. Если между элементом XiÎX и элементом YjÎY это свойство выполняется, то говорят, что Xi и Yj находятся между собой в отношении А: Xi А Yj .

Бинарным отношением задается совокупность Упорядоченных пар (Х, у), которые являются элементами множества ХY. Перестав­лять местами элементы в паре нельзя: (Х, у) ¹ (У, х).

Например: ХАу, где А – это отношение «больше» (>). Если ХАу, то это означает, что Х > У. Если отношение выполняется для пары (7, 3), то для пары (3, 7) оно не выполняется.

Элемент Х в паре называют Первой координатой, а элемент У – Второй координатой. Множество первых координат является Облас­Тью определения Отношения А; множество вторых координат – Об­Ластью значений Отношения А.

Do(A) – область определения А;

DЗ(A) – область значений А.

При этом Do(A)ÌХ, а DЗ(A)ÌУ. Если Х = У, то любое отношение Х А У является подмножеством множества ХХ и называется Отно­Шением в х. Оно задает некоторое отношение между элементами Х.

Например: Х = {2; 3}; Y = {3; 4; 5; 6}. Множество Х Y = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6)}.

1. Пусть А – «делить нацело». Тогда это свойство выполняется для тех YjÎY, которые без остатка делятся на XiÎX. В этом случае множество А состоит из элементов: (2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6).

2. Пусть А – «отношение равно» (=). Это свойство выполняется для пар, в которых Х = У. В этом случае множество А состоит из одного элемента: (3; 3).

3. Пусть А – «отношение больше»(>). Это свойство выполняется для пар, в которых Х > У. Таких пар нет. Поэтому множество А – пустое. А = Æ.

Заслуживают внимания три частных случая отношений в Х:

1. Полное (универсальное) отношение Р = Х Х, которое имеет место для каждой пары (Xi, хJ) элементов Х. Например, если Х – множество студентов группы, то отношение «быть одногруп­пником» – универсальное.

2. Тождественное (диагональное) отношение Е, равносильное свойству «равно» Xi = хJ, которое выполняется при I = J, т. е. на главной диагонали «делится без остатка» на множестве простых чисел без единицы.

3. Пустое отношение Æ, которому не удовлетворяет ни одна пара элементов из Х. Например, если Х – множество всех женщин, то отношение «быть братом» – пустое. Очевидно, что Æ Ì A Ì R.

< Предыдущая		Следующая >