1.20 Счетные множества

Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел. Будем называть Счетным множеством всякое множество, элементы которого можно поставить во взаимно-однознач­ное соответствие натуральные числа. Иначе говоря, счетное множество – это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность А1, А2,..., аn,... Приведем примеры счетных множеств.

1). Множество всех целых чисел

Установим соответствие между всеми целыми и всеми нату­ральными числами по следующей схеме:

Целые: 0, -1, 1, -2, 2 . . . ;

Натуральные: 1, 2, 3, 4, 5 . . . ,

То есть отрицательному числу N < 0 поставим в соответствие четное число 2½N½, а неотрицательному числу N ³ 0 – сопоставим нечетное число 2½N½ + 1 :

N « 2½N½ + 1; если N ³ 0

N « 2½N½; если N < 0.

2). Множество всех четных положительных чисел счетное

Совершенно очевидно, что N « 2N.

3). Множество степеней числа 2 счетное

21, 22, 23,..., 2N,... Соответствие также очевидно. Каждому числу 2N сопоставляется число N : N «2N

4). Множество всех рациональных чисел счетное

Рассмотрим более сложный пример. Покажем, что множество всех рациональных чисел счетное.

Каждое рациональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби a = P/Q , где P и Q – целые числа, Q > 0. Назовем сумму ½P½+Q Высотой рационального числа A. Ясно, что число дробей с данной высотой H конечно. Например, высоту H = 1 имеет только число 0/1; высоту H = 2 – числа 1/1 и -1/1; высоту H = 3 числа 2/1; 1/2; -2/1; -1/2 и т. д. Будем нумеровать все рациональные числа по возрастанию высоты. При этом всякое рациональное число получит некоторый номер, т. е. будет установлено взаимно-однозначное соот­ветствие между всеми рациональными и всеми натуральными числами.

Установим некоторые общие свойства счетных множеств.

1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетное.

2. Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмно­жество.

Последнее свойство показывает, что среди бесконечных мно­жеств счетные множества являются «самыми маленькими». Используя понятие эквивалентности, можно сказать, что счетные множества экви­валентны множеству натуральных чисел. И наоборот – всякое мно­жество, эквивалентное множеству натуральных чисел, является счетным.

Рассмотренные нами примеры счетных множеств показывают, что иногда бесконечные множества оказываются эквивалентны своему собственному подмножеству. Например, натуральных чисел оказыва­ется «столько же», сколько и всех целых, и даже всех рациональных. Точек на интервале [0;1] столько же, сколько и на интервале [0;1000] и даже на всей прямой, и т. д. Это явление характерно для бесконечных множеств. Мы приведем без доказательств следующее утверждение: Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему соб­Ственному подмножеству.

Это свойство можно принять за определение бесконечного множества.

< Предыдущая		Следующая >