1.21 Несчетные множества

Мы рассмотрели счетные множества. Примеры их можно про­должить. Кроме того, как мы показали, сумма конечного числа или счетного числа счетных множеств есть снова счетное множество. Есте­ственно возникает вопрос: «а существуют ли вообще несчетные мно­жества?». Положительный ответ на него дает следующая теорема:

Множество действительных чисел, заключенных между 0 и 1, несчетно.

Множество действительных чисел D включает в себя множество R рациональных чисел и множество Q иррациональных чисел. Любое иррациональное число можно представить бесконечной непериоди­ческой десятичной дробью.

Множество R – счетное, если мы докажем, что множество Q – несчетное, то несчетным будет и множество D.

Предположим, что дано какое-то счетное множество иррацио­нальных (действительных)чисел A , лежащих на отрезке [0; 1]:

A1 = 0, А11, А12, А13, ..., А1n, ...

A2 = 0, А21, А22, А23, ..., А2n, ...

. . . . . . . . . . . . . . . .

AM = 0, Аm1, Аm2, Аm3, ..., Аmn, ...,

Где Аij – J-я десятичная цифра числа AI.

Построим десятичную дробь

B = 0, B1, B2, B3, ..., Bn …

С помощью Диагональной процедуры Кантора, а именно: за B1 примем произвольную цифру, не совпадающую с А11; за B2 – произ­вольную цифру, не совпадающую с А22, и т. д. Вообще за BN примем произвольную цифру, не совпадающую с AMn. Построенная таким образом дробь b не совпадает ни с одной дробью a. От a1 она отли­чается по крайней мере первой цифрой, от a2 – по крайней мере второй цифрой и т. д.

Таким образом, никакое счетное множество иррациональных (действительных) чисел, лежащих на отрезке [0; 1], не исчерпывают этого отрезка. Следовательно, множество иррациональных чисел и мно­жество действительных чисел на отрезке [0; 1] является несчетным.

Любые множества, эквивалентные отрезку [0; 1], являются Несчетными:

1. Множество всех точек любого отрезка [ А; B ].

2. Множество всех точек прямой.

3. Множество всех прямых на плоскости.

4. Множество всех непрерывных функций одной или нескольких переменных и т. д.

< Предыдущая		Следующая >