31. Функция одного случайного аргумента и ее распределение

Определение12.1: Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют Функцией случайного аргумента X:

Y = φ (X).

Пусть задана функция Y = (X) случайного аргумента X, где аргумент X – дискретная случайная величина с возможными значениями X1, X2,… Xn ,вероятности которых соответственно равны P1, P2,… Pn. Очевидно, Y - также дискретная случайная величина с возможными значениями

A) Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны, так как событие “величина X приняла значение xi” влечет за собой событие “величина Y приняла значение (xi)”, то вероятности возможных значений Y соответственно равны P1, P2,… Pn.

Пример. Дискретная случайная величина X задана распределением

X	2	3
P	0,6	0,4

Найти распределение функции Y = X2.

Решение: Имеем, что , следовательно, . Случайная величина X принимает всего два значения: X1 = 2 и X2 = 3 .

Найдем возможные значения Y: Y1 = X12 = 22 = 4; Y2 = X22 = 32 = 9. В данном примере различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции Y, поэтому вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.

Искомое распределение Y:

Y	4	9
P	0,6	0,4

b) Если различным возможным значениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Пример. Дискретная случайная величина X задана распределением

X	-2	2	3
P	0,4	0,5	0,1

Найти распределение функции Y = X2

Решение: Имеем, что , следовательно, . Случайная величина X принимает три значения: X1 = -2 , X2 = 2 , X2 = 3.

Найдем возможные значения Y: Y1 = X12 = (-2)2 = 4; Y2 = X22 = 22 = 4; Y3 = X32 = 32 = 9. Вероятность возможного значения Y2 = 4 равна сумме вероятностей несовместных событий X = - 2, X = 2, то есть 0, 4 + 0, 5 = 0,9. Вероятность возможного значения Y2 = 9 равна 0,1 .

Искомое распределение Y:

Y	4	9
P	0,9	0,1

< Предыдущая		Следующая >