25. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна
.
Введем новую переменную Отсюда,
,
Найдем новые пределы интегрирования. Если
то
; если
то
Таким образом, имеем
Пользуясь функцией Лапласа , получим
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с и
. Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу
.
По таблице приложения 2 находим Отсюда искомая вероятность
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины X , которая распределена по нормальному закону.
Решение: По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
.
Введем новую переменную Отсюда,
,
. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
.
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно А (интеграл Пуассона ).
Замечание: При вычислении дисперсии нормальной случайной величины делается такая же замена переменных и применяется формула интегрирования по частям.
< Предыдущая | Следующая > |
---|