18. Дисперсия дискретной случайной величины

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она принимает, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y , заданные следующими законами распределения:

X	-0,001	0,001
P	0,5	0,5

Y	-1000	1000
P	0,5	0,5

Математические ожидания этих величин

Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики.

Определение7.1: Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X – M(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:

M[X – M(X)] = 0.

Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- Постоянная величина, имеем

M[X – M(X)] = M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.

Замечание: Наряду с термином “отклонение” используют термин “центрированная величина”. Центрированной случайной величиной Называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: = X – M(X).

Определение7.2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]2.

Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения

X	x1	X2	X3	…..		Xn
P	p1	P2	P3	…..		Pn

Тогда

D(X) = M[X – M(X)]2 = [x1-M(X)]2p1+ [x2-M(X)]2p2+…+ [Xn-M(X)]2Pn.

Таким образом, Чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:

X	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

Решение: Математическое ожидание M(X) = 1∙0,3+2∙0,5+5∙0,2 = 2,3.

Тогда D(X) = (1 - 2,3)2∙0,3 + (2 - 2,3)2∙0,5 + (5 - 2,3)2∙0,2 = 1,69 ∙ 0,3 + 0,09 ∙ 0,5 + 7,29 ∙ 0,2 = 2,01.

Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Доказательство:

D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2X∙M(X) + M2(X)]= M(X2) – 2M(X)∙M(X) + M2(X) =

= M(X2) – 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)- M2(X).

Таким образом, Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:

X	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

Решение: Математическое ожидание M(X) = 2∙0,1+3∙0,6+5∙0,3 = 3,5. Тогда M(X2) = 22∙0,1+32∙0,6+52∙0,3 = 13,3. Дисперсия D(X) = M(X2) – [M(X)]2=13,3 – (3,5)2=1,05.

< Предыдущая		Следующая >