03. Свойства функции распределения

Свойство1: Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0 ≤ F(X) ≤ 1.

Доказательство: Данное свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство2: F(X) – Неубывающая функция, то есть

F(X2) ≥ F(X1), если X2 > X1.

Доказательство:

По теореме сложения для двух несовместных событий имеем

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X < x2).

Отсюда

P(X < x2) - P(X < x1) = P(x1 ≤ X < x2),

Или

F(X2) - F(X1) = P(X1 ≤ X < X2).

Так как любая вероятность число неотрицательное, то F(X2) - F(X1) ≥ 0 , или F(X2) ≥ F(X1) , что и требовалось доказать.

Следствие1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на интервале (A,B), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(A ≤ X < B) = F(B) - F(A).

Следствие2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Используя это положение, для непрерывной случайной величины X можно убедиться в справедливости равенств

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a).

Данный факт полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Замечание: Из того, что событие X = X1 Имеет вероятность, равную нулю (для непрерывных случайных величин), вовсе не следует, что это событие не будет появляться. Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным X1.

Свойство3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (A,B), то

1) F(X) = 0 при X ≤ A; 2) F(X) = 1 при X ≥ B.

Доказательство:

1) Если X1 ≤ A, То событие X < X1 невозможно и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Если X2 ≥ B, То событие X < X2 достоверно и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси X , то справедливы следующие предельные соотношения:

; .

Свойство4: Функция распределения непрерывна слева, то есть

F(X0) = F(X0 - 0).

Таким образом, каждая функция распределения удовлетворяет свойствам 1-4. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая свойствам 1-4, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

< Предыдущая		Следующая >