4. Дифференциальные уравнения высших пoрядков. Основные понятия для уравнений высших порядков

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные , что символически записывают так

, (1)

Где функция - непрерывная вместе с со своими частными производными в некоторой области пространства .

Если уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной , то его записывают в виде

. (2)

При этом, обычно, функция - непрерывная вместе со своими частными производными .

Определение 2. Решением или частным решением дифференциального уравнения (1) на некотором промежутке называется функция , имеющая на этом промежутке производные и удовлетворяющая уравнению (1), т. е.

.

Общее решение уравнения (1) содержит произвольных постоянных и имеет вид:

.

Задача Коши

Задача Коши для уравнения (2): решить уравнение (2), удовлетворяющее начальным условиям:

. (3)

Для уравнения в неявной форме (1) задача Коши формулируется аналогично, но к условиям (3) добавляется еще одно .

Теорема существования и единственности

Пусть функция непрерывная вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки пространства . Тогда, существует некоторый интервал в окрестности точки на котором определено раз дифференцируемое единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Для уравнения (1) требуется еще непрерывная частная производная в окрестности точки , а в самой точке . Наличие этих условий гарантирует разрешимость уравнения (1) относительно старшей производной и, следовательно, сведения его к уравнению (1)

< Предыдущая		Следующая >