4.12. Частные решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим уравнение вида

, (1)

Где - заданные постоянные действительные числа, - заданная непрерывная функция.

Рассмотрим варианты нахождения частных решений уравнения (1), когда правая часть уравнения имеет специальный вид.

1. , где - многочлен от .

А) если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (2)

Где - многочлен от той же степени, что , но с неопределенными коэффициентами, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

B) если является корнем кратности характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (3)

Где - многочлен от той же степени, что , но с неопределенными коэффициентами, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

2. , где и - постоянные действительные числа.

А) если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (4)

Где и - постоянные неопределенные коэффициенты, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

B) если является корнем кратности характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (5)

Где и - постоянные неопределенные коэффициенты.

3., где и - многочлены с действительными коэффициентами.

А) если a+ не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (6)

Где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна максимальной степени многочленов и .

B) если a+ является корнем кратности характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (7)

Где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна максимальной степени многочленов и .

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение : .

Корни характеристического уравнения : .

Общее решение ЛОДУ: .

Частное решение ЛНДУ ищем в виде : . Подставим это выражение в исходное уравнение, получим . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях : . Следовательно,

Частное решение ЛНДУ : .

Общее решение ЛНДУ: .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение : .

Корни характеристического уравнения : .

Общее решение ЛОДУ: .

Т. к. есть корень кратности характеристического уравнения, то частное решение ЛНДУ ищем в виде : . Подставим это выражение в исходное уравнение, получим . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях : . Следовательно,

Частное решение ЛНДУ : .

Общее решение ЛНДУ: .

< Предыдущая		Следующая >