4.05. Cтруктура общего решения ЛОДУ

Теорема. Если система функций образует фундаментальную систему решений ЛОДУ на некотором интервале, то функция

, (1)

Где - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство. Покажем, что функция (1) является решением уравнения . В самом деле,

.

Покажем теперь, что функция (1) является общим решением этого уравнения. Для этого учтем, что из общего решения при определенных значениях постоянных получается любое частное решение. По теореме существования и единственности любое частное решение определяется начальными условиями:

, (2)

Где - произвольные числа. Необходимо показать, что всегда можно подобрать постоянные так, чтобы условия (2) выполнялись. Подставим (1) в условия (2), получим систему линейных уравнений относительно :

В силу линейной независимости частных решений определитель Вронского отличен от нуля, следовательно, система (3) имеет единственное решение , а функция (1) удовлетворяет данным начальным условиям (2).

< Предыдущая		Следующая >