4.04. Фундаментальная система решений ЛОДУ

Определение. Система линейно независимых решений ЛОДУ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема. Для того, чтобы решения ЛОДУ образовали фундаментальную систему решений этого уравнения на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Необходимость.

Пусть система функций Образует фундаментальную систему решений уравнения . Покажем, что . Предположим, что существует точка , в которой , тогда существуют числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что выполняется равенство

.

Функция является решением уравнения с нулевыми условиями

.

Таким же условиям удовлетворяет тривиальное решение . Но по теореме существования и единственности это решение единственное. Тогда

º 0,

Т. е. система функций линейно зависима.

Достаточность.

Пусть ¹ 0 во всех точках некоторого интервала, тогда из следствия теоремы о линейной зависимости следует линейная независимость система решений .

Замечание. Если коэффициенты в операторе есть разрывные функции на некотором интервале, то уравнение может иметь не одно решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям и тогда возможно на этом интервале.

< Предыдущая		Следующая >