2.18. Задачи на составление дифференциальных уравнений

1. Физические задачи на составление ДУ.

Задача 1. Как изменится скорость точки массы на которую действует постоянная сила, сообщающая ей ускорение , если окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости движения точки? В начальный момент точка покоилась.

Согласно второму закону Ньютона , где - коэффициент пропорциональности в силе сопротивления . Данное уравнение является линейным, его общий интеграл найдем методом Лагранжа . Используя начальное условие , найдем . Окончательно, .

Задача 2. Найти закон движения точки массы , движущейся вдоль оси Ох, если работа силы, действующей на точку, пропорциональна времени . В начальный момент точка покоилась и находилась на расстоянии от точки отсчета.

По условию задачи , где - коэффициент пропорциональности. С другой стороны, работа силы в случае прямолинейного перемещения равна . В результате получим уравнение. Дифференцируя обе части равенства по , имеем . Учтем, что , а ; получим . Общее решение этого уравнения . Из начального условия находим , поэтому . Наконец, заменяя и интегрируя, находим . По начальному условию , получим . Окончательно .

Задача 3. Сосуд, площадь поперечного сечения которого функция высоты , наполнен жидкостью до уровня Н. Определить время За которое жидкость вытечет через отверстие площадью в дне сосуда.

Замечание. Использовать закон Торичелли: скорость истечения жидкости через малое отверстие в сосуде, находящейся на расстоянии ниже уровня жидкости пропорциональна скорости свободного падения тела с высоты , т. е. , где - так называемый коэффициент расхода; для воды .

Пусть в некоторый момент высота жидкости в сосуде . Объем вытекшей жидкости за время равен . С другой стороны, вследствие утечки жидкости из сосуда ее уровень понизится на величину , объем при этом уменьшится на величину . Приравнивая оба выражения и, переходя к пределу , получим уравнение . Подставляя вместо его значение по закону Торичелли, находим . Время опорожнения сосуда .

Задача 4. В цилиндрическом сосуде объемом воздух адиабатически (т. е. без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема . Вычислить работу сжатия.

Замечание. Использовать закон Пуассона: , где - постоянная для данного газа.

Предположим, что воздух сжимается с помощью поршня площади . При опускании поршня на величину совершается работа , где - давление воздуха в рабочем объеме . Подставляя вместо значение согласно закону Пуассона, получим уравнение . Решая его, находим . При имеем .

2. Геометрические задачи на составление ДУ.

Задача 5. Найти уравнение кривой касательная к которой в произвольной точке пересекает прямую В точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания и кривая проходит точку .

Пусть - произвольная точка кривой , - текущие координаты точек касательной. Тогда уравнение касательной, проходящей через точку имеет вид . По условию задачи . Подставляя эти значения в уравнение, после интегрирования последнего, находим . Из условия имеем . Таким образом, искомая кривая имеет уравнение .

Задача 6. Найти уравнение кривой , проходящей через точку (0,1) и обладающей свойством: в каждой ее точке тангенс угла касательной равен удвоенному произведению координат точки касания.

Пусть - произвольная точка кривой . По условию задачи . Откуда . Из начального условия находим и .

Задача 7. Найти уравнение кривой , проходящей через начало координат и полностью расположенной в верхней полуплоскости, если она делит прямоугольник (Рис. 1) на две части и площадь части, находящейся над кривой в два раза больше части, находящейся под кривой.

Опустим из произвольной точки кривой перпендикуляры и на координатные оси. По условию задачи: , где - площадь прямоугольника, а - площадь части прямоугольника, находящейся под искомой кривой.

Получим интегральное уравнение . Дифференцируя это равенство, получим или . Общее решение этого уравнения . Поэтому искомая кривая не единственная, а это семейство парабол . По условию задачи , следовательно,

< Предыдущая		Следующая >