2.17. Уравнения Клеро и Лагранжа

Уравнение Клеро имеет вид

, (1)

Где - известная функция . Введем параметр . Дифференцируя это равенство по , имеем . Откуда или

. (2)

Из первого равенства следует, и общее решение уравнения Клеро имеет вид

. (3)

Это семейство прямых линий.

Уравнение Клеро имеет особое решение (огибающая семейства (3)), которое следует при исключении параметра из системы

(4)

Уравнение Лагранжа является обобщением уравнения Клеро

, (5)

Где и - известные функции . Введем параметр , тогда имеем . Отсюда

.

Данное уравнение можно записать в виде ЛДУ, если считать неизвестной функцию

. (6)

Общее решение этого уравнения запишем символически . Если исключить параметр из общего решения уравнения Лагранжа

(7)

Получим общее решение уравнения Лагранжа (5) в виде .

Заметим, что при , когда , т. е. имеем некоторые решения уравнения

. (5)

Если это решение не следует из общего , то оно будет особым.

Пример. В уравнении Лагранжа положив , имеем . Дифференцируя это равенство по , имеем . Найдем особые решения, положив . Откуда или . Теперь найдем общее решение уравнения Лагранжа. Для этого рассмотрим уравнение (6) . Его общее решение . Исключая параметр из системы

Находим общее решение уравнения Лагранжа: .

Замечание. Из двух предполагаемых особых решений , следует оставить , т. к. оно не следует из общего решения, а решение не является особым, т. к. оно следует из общего решения при .

< Предыдущая		Следующая >