2.15. Огибающая семейства кривых

Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых , где - произвольная постоянная, параметр семейства.

Определение. Линия называется огибающей однопараметрического семейства кривых , если каждая ее точка является точкой семейства, а различным точкам линии соответствуют различные кривые в семействе (Рис. 1).

Найдем уравнение огибающей . Данной точке огибающей соответствует кривая с фиксированным . Найдем это и подставим в исходное уравнение . Дифференцируем это тождество по , считая :

Или

Т. к. на данной кривой семейства , то , где (в противном случае необходимо считать ). На огибающей семейства в точке : , а поскольку , то необходимо .

Таким образом, уравнение огибающей имеет вид

(1)

Замечание. Геометрическое место "особых" точек (в которых ) является решением системы (1). Покажем это. Выразим координаты особых точек и через параметр : и дифференцируем тождество по : . Поскольку , то .

< Предыдущая		Следующая >